Алекса Джурасович является воспитанником «Спартака» из его родного города Суботицы. С сезона 2019/20 он выступал за молодёжный состав клуба элитного дивизиона Сербии, а в июне 2020 года дебютировал на профессиональном уровне за главную команду в Суперлиге. В 114 матчах за «основу» Алекса отметился двумя забитыми мячами и голевой передачей: в минувшем сезоне опорник был незаменимым игроком «Спартака».

В «Акроне» — с июня 2024 года.