Эдгар Севикян является воспитанником московского «Локомотива». В 2017 году Эдгар переехал в Испанию и развивался в системе «Леванте». В январе 2020 года он дебютировал за вторую команду в Сегунде B, а спустя почти год уже получил практику в испанской примере, выйдя на замену в игре с «Хетафе».

После этапа карьеры в Испании в летнее межсезонье 2022 года атакующий полузащитник вернулся в Россию и стал игроком «Пари НН», где отыграл 40 матчей (8+1 по системе гол+пас). В январе 2024 года Эдгар перешёл в венгерский «Ференцварош» (всего за клуб — 19 матчей и 2+1), а сезон 2024/25 провёл в аренде в стане «железнодорожников» (20 игр и четыре ассиста).

Севикян выступает за сборную Армении.

В «Акроне» — с сентября 2025 года.